2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文数试卷

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则=

A．2 B． C． D．1

2．已知集合，则

A． B． C． D．

3．已知，则

A． B． C． D．

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

5．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

7．tan255°=

A．-2- B．-2+ C．2- D．2+

8．已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为

A．  B．  C．  D． 

9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入

A．A= B．A= C．A= D．A=

10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为

A．2sin40° B．2cos40° C． D．

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

12．已知椭圆C的焦点为，过F₂的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为___________．

14．记S_n为等比数列{a_n}的前n项和.若，则S₄=___________．

15．函数的最小值为___________．

16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：．

18．（12分）

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₉=-a₅．

（1）若a₃=4，求{a_n}的通项公式；

（2）若a₁>0，求使得S_n≥a_n的n的取值范围．

19．（12分）

如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点.

（1）证明：MN∥平面C₁DE；

（2）求点C到平面C₁DE的距离．

20．（12分）

已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

21.（12分）

已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参考答案

一、选择题

1．C 2．C  3．B 4．B 5．D 6．C

7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B

二、填空题

13．y=3x  14． 15．−4 16．

三、解答题

17．解：

（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

（2）．

由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18．解：

（1）设的公差为d．

由得．

由a₃=4得．

于是．

因此的通项公式为．

（2）由（1）得，故.

由知，故等价于，解得1≤n≤10．

所以n的取值范围是．

19．解：

（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.

由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）过C作C₁E的垂线，垂足为H.

由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.

从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，

由已知可得CE=1，C₁C=4，所以，故.

从而点C到平面的距离为.

20．解：

（1）设，则.

当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，故在存在唯一零点.

所以在存在唯一零点.

（2）由题设知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，所以，当时，.

又当时，ax≤0，故.

因此，a的取值范围是.

21．解：（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.

因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.

由已知得，又，故可得，解得或.

故的半径或.

（2）存在定点，使得为定值.

理由如下：

设，由已知得的半径为.

由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.

因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.

因为，所以存在满足条件的定点P.

22．解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.

的直角坐标方程为.

（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.

C上的点到的距离为.

当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.

23．解：（1）因为，又，故有

.

所以.

（2）因为为正数且，故有

=24.

所以.