2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

数学（文科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，则（    ）

A．        B．        C．        D． 

2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

 

则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3．若．则（    ）

A．         B．         C．         D．

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（    ）

 

A．8     B．12    C．16    D．20

5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ）

A．          B．          C．          D． 

6，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ）

A．           B．           C．           D．

7．函数在区间的图像大致为（    ）

A．      B．

C．      D．

8．当时，函数取得最大值，则（    ）

A．        B．            C．      D．1

9．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ）

A．       B．AB与平面所成的角为

C．       D．与平面所成的角为

10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A．        B．      C．       D．

11．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ）

A．         B．       C．        D． 

12．已知，则（    ）

A．     B．      C．      D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量．若，则______________．

14．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

15．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．

16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，______________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

	准点班次数	未准点班次数
A	240	20
B	210	30

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：，

	0.100	0.050	0.010
	2.706	3.841	6.635

18．（12分）

记为数列的前n项和．已知．

（1）证明：是等差数列；

（2）若成等比数列，求的最小值．

19．（12分）

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

 

（1）证明：平面；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

20．（12分）

已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

（1）若，求a：

（2）求a的取值范围．

21．（12分）

设抛物线的焦点为F，点，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

（1）求C的方程：

（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．

（1）写出的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知均为正数，且，证明：

（1）

（2）若，则．

 

 

 

 

 

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

数学（文科）

参考答案

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

 

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. A  2. B  3. D  4. B   5.C  6. C  7.A  8.B  9. D  10. C  11. B  12.A

 

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ##

14. 

15. 2（满足皆可）

16. ##

 

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，    

（2）有

18. （1）证明见解析；    

（2）．

19. （1）

如图所示：，

分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

（2）．

20. （1）3    （2）

21. （1）；    

（2）.

 

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. （1）；    

（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．

 

[选修4-5：不等式选讲]

23.（1）证明：由柯西不等式有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以；

（2）证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.